Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо,- ответил продавец,- если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?
За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить
2) Сделка
Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?
Считают “мужик” и “купец”
“Мужик” заплатил: S30=100 000• 30=3 000 000 (рублей).
“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.
S30 =1• (230 – 1)/(2-1)= 230 -1= 1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23 коп
3) Волшебное дерево. Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого
Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней «достанет» до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м?
Значит, высота дерева на 36 день – 236
Если бы его высота в начальный момент времени была 8 м, то
8*2n=236
23*2n=236
n=33
Через 33 дня дерево достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м
Ответ: 33 дня
4) Д. Бем, А. Волков, Р. Струве Сокращённый сборник упражнений и задач
5) Старинная русская задача
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько воробьёв?
По формуле n-го члена геометрической прогрессии находим 6-ой член:
S6=76= 117 649
Ответ: 117 649
6) Стадо овец
По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.
Решение:По формуле суммы геометрической прогрессии:
S20=1*(220 -1)/2-1 = 1048575 копеек
Ответ: 1048575 копеек.
7) Из старинных русских рукописей XV-XVIII вв.
Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?
Решение:Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию.
Всех яблок: S64=(1*264-1)/2-1
= 264-1
Денег будет: (264-1)/2000
8) «Косари на лугу» (из старинных сборников задач)
Было два луга: один в 6 десятин, другой в 3. На большой луг пришла партия косарей и косила его полдня. После обеда партия разделилась пополам: одна половина осталась на большом лугу и к вечеру докосила его, а другая пошла на малый луг и косила его, но к вечеру не кончила. На другой день на малый луг пришел один человек. Он косил целый день и к вечеру кончил. Сколько человек было во всей партии косарей
Решение:Большой луг косила полдня вся партия, а полдня – полпартии. Значит, до обеда было скошено вдвое больше, чем после обеда, или до обеда 4 десятины, а после 2. Следовательно, вторая половина партии скосила на малом лугу тоже 2 десятины, и осталось скосить 1 десятину. Итак, всего вся партия выкосила в первый день: 6+2=8 (десятин). Оставшуюся 1 десятину на малом лугу косил один человек 1 день. Если один человек в один день выкосил 1 десятину, то очевидно, что партия, выкосившая в один день 8 десятин, состояла из 8 человек.
Ответ: 8 человек.
9) Задача из «Русской правды» 11 век
Решение:
Количество овец удваивается каждый год, поэтому по формуле суммы геометрической прогрессии мы находим количество овец через 12 лет:
S12 = 22*(212 -1)/(2-1) = 90090 овец
Количество баранов тоже удваивается, но начиная со второго года
S11 = 22*(211 -1)/(2-1) = 45034 баранов
Всего овец и баранов по истечению срока будет
90090 + 45034 = 135124.
Вычитаем начальное количество овец и получаем, что приплод равен 135124 голов
Ответ: 135124
«Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?»
Решение:S8 = 408 =6 553 600 000 000
Ответ:6 553 600 000 000
Садовник продал первому покупателю половину яблок и ещё пол-яблока, второму- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока, третьему- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока и т.д., седьмому половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. После этого у него яблок не осталось. Сколько яблок было у садовника?
Решение:Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил x/2+1/2=(x+1)/2,
второй 1/2(x-(x+1)/2)+1/2=(x+1)/22,
третий 1/2(x-(x+1)/2-(x+1)/4)+1/2=(x+1)/23,
седьмой покупатель (х+1)/27.
Имеем уравнение (х+1)/2+(х+1)/22+(х+1)/23+...+(х+1)/27=x
или (x+1)(1/2+1/22+1/23+...+1/27)=x.
Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x+1)=1-1/27
и х=27-1=127.
Всех яблок было 127.
12) Задача из старинного русского сборника
«В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?». Эту задачу можно решить логически и, применяя понятие прогрессии.
Решение:Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии
1*(3n-1)/(3-1)=16001
3n=16001
Sn =b1*(q9-1)/(q-1)=1*(39-1)/(3-1)=(19683-1)/2 = 9841
9841>8000
На 9-ом шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10:00 утра.
Ответ: 10:00
Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
Решение:Составляем уравнение 65535 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2x-1
Или
65535 = (2x-1 × 2 - 1)/(2 - 1) = 2x-1
откуда имеем:
65536=2x
x=16
Ответ: 16 ран
У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
Решение:Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего
74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19607.
С точки зрения геометрической прогрессии имеем:
b1 =7
q =7
n=5
S5=(b1*(qn-1))/(q-1)
= (7*(75-1))/(7-1) = 19607
Ответ: 19607
Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя до двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1м, второй 1/2м, третий 1/4м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше предыдущего. Дойдёт ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3м?
q=0.5
b1 = 1
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S=b1/(1-q) = 1/(1-0/5) = 2 (м)
2м<3м => не дойдёт
Ответ: не дойдёт
Числа, выражающие длину, ширину и вышину прямоугольного параллелепипеда. образуют геометрическую прогрессию; объём параллелепипеда равен 216 м3, а диагональ √364 м. Определить измерения параллелепипеда.
17) Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого
"Спросил некто
учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение
своего сына. Учитель ответил: если придет еще учеников столько же, сколько
имею, и полстолько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников
100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?"
Способ решения Магницкого
(методом ложного положения или фальшивым правилом) можно посмотреть тут.
Решение (мой вариант):
Представим числа,
выражающие количество учеников, в виде членов убывающей геометрической
прогрессии, где q=0,5.
Составим уравнение: b1 + b1 + b2 + b3 + 1 = 100
bn = b1*qn
2b1 + b1q + b1q2 = 99
b1(2 + q + q2) = 99
b1(2 + 1/2 + 1/4) = 99
b1=99*4/11=36
Ответ: 36 учеников
Есть еще такая формулировка. Летела стая гусей,
навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А
вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько
теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь,
вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?
18) Задача из старинного русского задачника по арифметике Ефима Войтяховского "Полный курс чистой
математики" (1809).
"У приезжего
гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына
[алтын - 3 копейки] без полушки [1/4 копейки]; но фрак в полтретья [2
1/2 раза] дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.
Решение:
Приведем стоимость вещей
к одной единице измерения - копейкам: три алтына без полушки = 3×3-1/4=35/4.
Представим числа,
выражающие цену каждого вида одежды, в виде членов геометрической прогрессии,
где
q=2,5; S2 = 35/4; b2 = b1q.
b1 + b1q = S2
b1 + 2,5b1 = 35/4
b1 = 35/4 : 3,5 = 2,5
Ответ: 6 1/4 и 2 1/2.
19) Задача из старинного русского задачника по арифметике Ефима
Войтяховского "Полный курс чистой
математики" (1809).
"Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить свое богатство в
чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро [платье]
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме
так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта [31/2 раза] дороже
чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре
алтына,
Но настоящая им цена только сего
половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам
привезена".
Решение:
Приведем стоимость вещей к одной единице измерения - копейкам: с половиною четыре алтына = 3×4,5=13,5 копейки.
Представим числа,
выражающие цену каждого вида одежды, в виде членов геометрической прогрессии,
где
q=3,5; S2
= 13,5; b2 = b1q.
b1 + b1q = S2
b1 + 3,5b1 = 13,5
b1 = 13,5 : 4,5 = 3
Цена чепца, по мнению
мадамы, - 3 копейки. Цена оценщика вполовину меньше – 1,5 копейки, тогда нарядное
фуро стоит 1,5*3,5= 5,25.
Ответ: 5 1/4 и 1 1/2.
20) Задача из Сборника алгебраических задач для средней школы Шапошников Н.А., Вальцов Н.К. / Н.А. Шапошников и Н.К. Вальцов. - 13-е изд., перераб. Москва : Гос. учеб.-пед. изд-во, 1933
21) Задача из Сборника алгебраических задач для средней школы Шапошников Н.А., Вальцов Н.К. / Н.А. Шапошников и Н.К. Вальцов. - 13-е изд., перераб. Москва : Гос. учеб.-пед. изд-во, 1933
Рассмотрим
геометрическую прогрессию: b1 =760; q = 0,83; n = 16. Найдем b16
.
По формуле bn = b1 · qn-1,
значит: b16 = 760 ·0,83 15 ≈ 46,45
Ответ: 46,45
Рассмотрим геометрическую прогрессию: b1 =760; q = 0,83; n
= 16. Найдем b16 .
По формуле bn = b1 ·
qn-1, значит: S64 = 1(2 64 -1)/1
= 18 446 744 073 709 551 615
Ответ: 18 446 744 073 709 551 615
Моя задача
В
2012 году население Владимира составляло 345907
человек. После этого, до 2019 года, динамику изменения численности можно
сравнить с геометрической прогрессией с b1=345907 и q=1,004885.
|
2012 |
2013 |
2014 |
2015 |
2016 |
2017 |
2018 |
2019 |
|
345907 |
347930 |
350087 |
352681 |
354827 |
356168 |
357024 |
357907 |
|
345907 |
347596,9 |
349295,1 |
351001,6 |
352716,4 |
354439,5 |
356171,1 |
357911,2 |
Какова могла быть численность
населения Владимира в 2021 году, если бы тенденция сохранялась?
Решение:
b1=345907, q=1,004885, n=10, найти b10
b10= b1*q9
b10= 345907*1,0048859=361416,9
Ответ: численность
населения Владимира в 2021 году могла бы быть 361416,9.
Реальная численность
населения в 2021 году была 352 347 человек. Следовательно, тенденция не
сохранилась.