Арифметическая прогрессия может быть:
● Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0. Каждое последующее число прогрессии меньше предыдущего на d. Она же является ограниченной снизу.
Пример: последовательность чисел 36, 39, 42, 45,
48... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3
> 0. И она ограничена снизу, так как все её члены не меньше 36
● Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой
отрицательная разность, то есть d < 0. Каждое последующее число прогрессии
меньше предыдущего на d. Она же является ограниченной сверху.
Пример: последовательность чисел 50, 45, 40, 35, 30... — это убывающая
арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –5 < 0.
● Стационарная — арифметическая прогрессия, у
которой разность равна нулю, то есть d = 0. Все члены прогрессии равны первому
её члену. Она же является ограниченной (ограничена и сверху и снизу).
Пример: последовательность чисел 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 ... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0. Она ограничена, так как все члены этой прогрессии не больше и не меньше 7.
Все арифметические прогрессии строятся по формуле
Фигурные числа
— числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур.
Один из классов фигурных чисел - многоугольные.
Любая арифметическая прогрессия с an = 1+(n − 1)d, где n = 1, 2,..., а d – целое число, порождает прогрессию второго порядка – последовательность (d + 2)-угольных чисел.
Рассмотрим это на примерах.
●
Последовательность треугольных чисел:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,
105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …
Заметим, что, чтобы получить следующее (n) треугольное число, к каждому предыдущему треугольнику (n-1) добавляется n-ый член арифметической прогрессии с разностью d=1.
Числа 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 … образуют
арифметическую прогрессию с разностью d=1.
А значит, что
треугольные числа – это арифметическая прогрессия второго порядка.
●
Квадратные числа:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …
Чтобы получить следующее (n) квадратное число, к каждому
предыдущему квадрату (n-1) добавляется n-ый член арифметической
прогрессии с разностью d=2.
Числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 … образуют
арифметическую прогрессию с разностью d=2.
А это значит,
что квадратные числа – это арифметическая прогрессия второго порядка.
● Последовательность пятиугольных чисел:
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590 …
Заметим, что, чтобы получить следующее (n) пятиугольное число, к каждому предыдущему пятиугольнику (n-1) добавляется n-ый член арифметической прогрессии с разностью d=3.
Пятиугольные числа – это тоже арифметическая прогрессия второго порядка.
●
Так же проанализируем последовательность шестиугольных чисел:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276,
325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780 …
Здесь тоже можно заметить закономерность: чтобы получить следующее (n) шестиугольное число, к каждому предыдущему шестиугольнику (n-1) добавляется n-ый член арифметической прогрессии с разностью d=4.
Таким образом,
шестиугольные числа – это тоже арифметическая прогрессия второго порядка.
Последовательности многоугольных чисел на плоскости представляют собой арифметические прогрессии второго порядка.
Другие разновидности пространственных фигурных чисел связаны с классическими многогранниками.● Последовательность тетраэдральных чисел:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969 …
 |
| Разность двух соседних тетраэдральных чисел является треугольным числом |
Последовательность треугольных чисел - это арифметическая прогрессия 2-го порядка. Следовательно, последовательность тетраэдральных чисел - это арифметическая прогрессия 3-го порядка.
Последовательности многоугольных чисел в пространстве представляют собой арифметические прогрессии третьего порядка.
Существуют также
- Квадратные пирамидальные числа,
- Многогранные числа