Одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Блез Паскаль, французский математик и философ XVII века, посвятил ей специальный “Трактат об арифметическом треугольнике”.
Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.
Чтобы исследовать треугольник Паскаля, я построил его с помощью электронных таблиц:
Арифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией n-го порядка, где n > 1, называют последовательность чисел, разности которых образуют прогрессию порядка n − 1.
Прогрессия 0-го порядка - стационарная последовательность.
Такие прогрессии иногда называют арифметическими рядами. Их рассматривали еще в школе Пифагора. Чтобы получить k-й член прогрессии порядка n+ 1, достаточно найти сумму k первых членов прогрессии порядка n.
 |
| Прогрессии, порожденные натуральным рядом чисел |
Связь треугольника Паскаля с арифметическими прогрессиями высших порядков
Треугольник Паскаля прост, но в то же время таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные разделы математики, не имеющие на первый взгляд ничего общего.
Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.
 |
| Зеленым показан порядок прогрессий |
В электронной таблице числа, стоящие в строках, составляют прогрессии высших порядков. Третья строка соответствует треугольным числам, четвертая тетраэдральным и так далее.
Докажем, что одна из строк - арифметическая прогрессия 8-го порядка
Для этого, найдем разности соседних членов последовательности 8-го порядка. Получим последовательность 7-го.
Аналогично получим последовательности 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 порядков. Исходя из определения, делаем вывод, что выбранная нами строка и есть последовательность 8-го порядка. Как я это делал, можно посмотреть на видео.
Таким образом, можно сделать вывод, что треугольник Паскаля имеет связь с арифметическими прогрессиями высших порядков. А именно каждый его диагональный ряд - это прогрессия N-го порядка.